両サーバーの PHP バージョンは一致していますか？
また、.htaccess ファイルが原因となっている可能性もあります。その場合、リセットすると解決するかもしれません。
- シンレンタルサーバーのファイルマネージャーで
.htaccessをhtaccess_backupなどにリネーム - WordPress の管理画面にアクセスできるか確認
もしログインできた場合は、管理画面の「設定」→「パーマリンク」で再設定。何も変更しない場合も「変更を保存」をクリック。
必ず現時点でのファイル (手動バックアップのマニュアルは探したけれど見つかりませんでした)・データベースのバックアップを取ってからお試しくださいね。