こんにちは
サーバーのスペックにもよりますが、重くなると思います。おすすめしません。
これについて少し補足ですが、動画をメディアライブラリに数十個アップロードしただけで、サイト全体の動作が重くなったりはしません。
大量の動画を同時に視聴された場合には、相応のメモリの使用、ネットワーク帯域の使用があるため、サーバーの動作には影響があるかもしれません。
作成されているサイトにどれほどのアクセスを想定されているのか分かりませんが、パフォーマンスに影響があるのはアップロードされている動画の数ではなく、同時に視聴されるユーザーの数です。
また、これは何の検証もしていませんが、一般的なレンタルサーバーでは数十程度の同時視聴ではそれとわかるほどのパフォーマンスの低下はないんじゃなかろうかと思います。
同時接続数の制約があるかもしれませんが、それは割愛します。
もしそうでしたら、YouTube の利用規約をご確認ください。YouTube は商用利用（有料会員限定サイトへの掲載など）を禁止しているはずです。
これについて教えていただきたいのですが、YouTubeの規約で該当する箇所を見つけることができませんでした。
https://support.google.com/youtube/answer/71011?hl=ja-JPでは商用利用を必ずしも禁止していないという記述ですが、これに該当する利用規約も良く分からず・・・
不勉強で申し訳ないですが、よろしければどの規約が該当するのか教えていただけるとありがたいです。