ご確認くださりありがとうございます。
ブロックエディタを使っていない理由は特にありません。
お恥ずかしながらなぜクラシックエディタに設定したのか自分でもよく覚えていないのですが（デフォルトがクラシックエディタだったようにも思います）、使いやすいため特に疑問を持たないまま使い続けておりました。
ですが、今調べてみたらクラシックエディタはそのうちサポートが切れてしまうのですね…
「cocoon設定」→「エディター」→「Gutenbergエディターを有効にする」にチェックを入れ、「classic editor」プラグインを無効化したら、投稿画面がブロックエディタに切り替わりました。
しかし「このブロックでエラーが発生したためプレビューできません。」というメッセージが表示され、やはり下書きは表示されません。
（右上の「表示」→「新しいタブでプレビュー」を押すと下書きが表示されるのでデータは残っているようです）
ひとまずバックアップ手順を確認後、デフォルトのテーマに戻すことを試してみたいと思います。